Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（Ⅰ）如果函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

3

，1），求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可知-

1

3

，1是導函數(shù)所對應方程的兩個根，從而可求出a的值；
（Ⅱ）2xlnx≤3x²+2ax-1+2在x∈（0，+∞）上恒成立將a分離可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，利用導數(shù)研究h（x）的最大值，可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）g′（x）=3x²+2ax-1
由題意3x²+2ax-1＞0的解集是（-

1

3

，1），即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-

1

3

，1
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1，
∴g（x）=x³-x²-x+2
（Ⅱ）由題意知，2xlnx≤3x²+2ax-1+2在x∈（0，+∞）上恒成立
即a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，
設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(3x+1)(x-1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，．
∴a≥-2，即a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導數(shù)研究函數(shù)在某點切線方程，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力，屬于難題．