已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足
OA
•
OB
＜6（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．
（Ⅰ）設(shè)雙曲線C2的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，則a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1．
故C2的方程為
x2
3
-y2=1．
（II）將y=kx+
2
代入
x2
4
+y2=1得（1+4k2）x2+8
2
kx+4=0
由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得△1=(8
2
)2k2-16（1+4k2）=16（4k2-1）＞0，
即k2＞
1
4
①
將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得（1-3k2）x2-6
2
kx-9=0．
由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B得
1-3k2≠0
△2=(-6
2
k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

即k2≠
1
3
且k2＜1．②
設(shè)A（xA，yA）B（xB，yB），則xA+xB=
6
2
k
1-3k2
，xA•xB=
-9
1-3k2
．
由
OA
•
OB
＜6得xAxB+yAyB＜6，
而xAxB+yAyB=xAxB+（kxA+
2
）（kxB+
2
）
=（k2+1）xAxB+
2
（xA+xB）+2
=（k2+1）•
-9
1-3k2
+
2
k•
6
2
k
1-3k2
+2
=
3k2+7
3k2-1
．
于是
3k2+7
3k2-1
＜6，即
15k2-13
3k2-1
＞0．
解此不等式得k2＞
13
15
或k2＜
1
3
．③
由①、②、③得
1
4
＜k2＜或
13
15
＜k2＜1．
故k的取值范圍為（-1，-
13
15
）∪（-
3
3
，-
1
2
）∪（
1
2
，
3
3
）∪（
13
15
，1）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1（a＞1）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，一條直線l經(jīng)過點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若l的傾斜角為
π
4
，求|AB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
2
2
，A1，A2分別是橢圓C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)．點(diǎn)D是x軸上位于A2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2．
（1）求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)D作x軸的垂線n，再作直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l交直線n于點(diǎn)Q．求證：以線段PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)A（1，
3
2
）到點(diǎn)F1、F2的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1P的中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖：已知直線與拋物線y2=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）．
（1）求p的值；
（2）求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
（a＞b＞0）的離心率e=
6
3
，短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直線l：y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
（1）求a的取值范圍；
（2）設(shè)交點(diǎn)為A，B，是否存在直線l使以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn)，若存在就求出直線l的方程，若不存在則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且開口向右的拋物線過點(diǎn)M（4，-4）．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，若|AB|=8，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

y軸上兩定點(diǎn)B1（0，b）、B2（0，-b），x軸上兩動(dòng)點(diǎn)M，N．P為B1M與B2N的交點(diǎn)，點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別為XM、XN，且始終滿足XMXN=a2（a＞b＞0且為常數(shù)），試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案