Question

（2011•藍(lán)山縣模擬）若函數(shù)y=f（x）（x∈D）同時(shí)滿足下列條件：
（1）f（x）在D內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；
（2）f（x）的值域?yàn)镈的子集，則稱此函數(shù)為D內(nèi)的“保值函數(shù)”．
已知函數(shù)f（x）=

ax+b-3

lna

，g（x）=ax²+b．
①當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

ax+b-3

lna

是[0，+∞）內(nèi)的“保值函數(shù)”，則b的最小值為

2

；
②當(dāng)-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1時(shí)，g（x）=ax²+b是[0，1]內(nèi)的“保值函數(shù)”的概率為

1

4

．

Answer 1

分析：①，由題意可得f（x）的解析式，對(duì)其求導(dǎo)判斷可得f（x）為增函數(shù)，進(jìn)而可得f（x）的值域，根據(jù)題意中保值函數(shù)的定義，可得

b-2

ln2

≥0，解可得b的范圍，即可得答案．
②，根據(jù)題意，由a、b的范圍分析可得其表示的平面區(qū)域，計(jì)算可得其面積，對(duì)于函數(shù)f（x），分-1≤a＜0與0＜a≤1兩種情況，先分析出f（x）的單調(diào)性，由此得到f（x）的值域，進(jìn)而由保值函數(shù)的定義，可得關(guān)于a、b的不等式組，分析可得其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，易得其面積，綜合兩種情況可得f（x）為保值函數(shù)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域即面積，由幾何概型公式計(jì)算可得答案．

解答：解：①，根據(jù)題意，a=2，則f（x）=

2x+b-3

ln2

，
f′（x）=2^x＞0，則f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，
故f（x）的最小值為f（0）=

b-2

ln2

，其最大值不存在，則f（x）的值域?yàn)閇

b-2

ln2

，+∞），
又由f（x）在[0，+∞）是“保值函數(shù)”，
則有

b-2

ln2

≥0，解可得b≥2；
故b的最小值為2．
②，根據(jù)題意，-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1，
則a、b確定的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正方形，其面積為4；
對(duì)于f（x），有f′（x）=2ax，x∈[0，1]，
當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
則f（x）的最大值為f（0）=b，最小值為f（1）=a+b，則f（x）的值域?yàn)閇a+b，a]，
若f（x）為保值函數(shù)，則有

0≤a+b a≤1

，
其表示的區(qū)域?yàn)殛幱叭�角形A，面積為

1×1

2

=

1

2

，
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
則f（x）的最小值為f（0）=b，最大值為f（1）=a+b，則f（x）的值域?yàn)閇a，a+b]，
若f（x）為保值函數(shù)，則有

b≥0 a+b≤1

，
其表示的區(qū)域?yàn)殛幱叭�角形B，面積為

1×1

2

=

1

2

；
f（x）為保值函數(shù)對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為1；
則f（x）為保值函數(shù)的概率為

1

4

；
故答案為①2，②

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型的計(jì)算以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解保值函數(shù)的定義．