Question

等差數列{b_n}的首項為1，公差為2，數列{a_n}與{b_n}且滿足關系式bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N^*），奇函數f（x）定義域為R，當x＜0時，f(x)=-

qx

qx+p-1

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若q＞0，且

lim

n→∞

f(an)=0，求證p+q＞2．

Answer 1

（1）當x=0時，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0，
當x＞0時，f(x)=-f(-x)=

qx

q-x+p-1

=

1

(p-1)•qx+1

，
所以，f（x）=

- qx qx+p-1       x＜0 0                    x=0 1 (p-1)•qx+1     x＞0

．
（2）當n=1時，a₁=b₁=1；由題意可得 b_n=1+（n-1）2=2n-1．
當n≥2時，由于

n(n+1)

2

bn=a1+2a2+3a3+…+nan，
所以

(n-1)n

2

bn-1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，
相減計算得a_n=3n-2，
檢驗得a_n=3n-2（n∈N^*）．
（3）由于f（x）=

- qx qx+p-1      x＜0 0                    x=0 1 (p-1)•qx+1    x＞0

 的定義域為R，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0，
所以

lim

n→∞

f(an) =

lim

n→∞

1

(p-1)•q-2 (q3)n+1

=

1         0＜q3＜1 1 p      q3 =1 0         q3＞1

．

由于

lim

n→∞

f(an)=0，所以q³＞1，即q＞1，因此，p+q＞2．