Question

f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且f（-1）=0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為（　　）

A．（-1，0）∪（1，+∞）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）g（x），由已知得到當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＜0，所以函數(shù)y=h（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，又因?yàn)閒（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得到函數(shù)y=h（x）為R上的奇函數(shù)，得到函數(shù)y=h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，畫出函數(shù)h（x）的草圖，結(jié)合圖象得到不等式的解集．

解答：解：設(shè)h（x）=f（x）g（x），
因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，
所以當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＜0，
所以函數(shù)y=h（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，
又因?yàn)閒（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
所以函數(shù)y=h（x）為R上的奇函數(shù)，
所以函數(shù)y=h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
因?yàn)閒（-1）=0，
所以函數(shù)y=h（x）的大致圖象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的乘法法則、導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；奇函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)稱區(qū)間上一致，屬于基礎(chǔ)題．