Question

（2012•鹽城二模）因客流量臨時增大，某鞋店擬用一個高為50cm（即EF=50cm）的平面鏡自制一個豎直擺放的簡易鞋鏡．根據經驗，一般顧客AB的眼睛B到地面的距離x（cm）在區(qū)間[140，180]內．設支架FG高為h（0＜h＜90）cm，AG=100cm，顧客可視的鏡像范圍為CD（如圖所示），記CD的長度為y（y=GD-GC）．
（1）當h=40cm時，試求y關于x的函數關系式和y的最大值；
（2）當顧客的鞋A在鏡中的像A₁滿足不等關系GC＜GA₁≤GD（不計鞋長）時，稱顧客可在鏡中看到自己的鞋，若一般顧客都能在鏡中看到自己的鞋，試求h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的相似，求出GC，GD的長，從而可構建函數，求導數，確定函數的單調性，即可求得結論；
（2）根據三角形的相似，求出GC，GD的長，由題意知GC＜A₁G=AG≤GD，即

100h

x-h

＜100≤

100(h+50)

x-h-50

對x∈[140，180]恒成立，從而

h＜ x 2 h≥ x 2 -50

對x∈[140，180]恒成立，由此可求h的取值范圍．

解答：解：（1）因為FG=40，AG=100，所以由

GC

FG

=

GC+AG

AB

，即

GC

40

=

GC+100

x

，解得GC=

4000

x-40

，
同理，由

GD

EG

=

GD+AG

AB

，即

GD

90

=

GD+100

x

，解得GD=

9000

x-90

所以y=GD-GC=1000×(

9

x-90

-

4

x-40

)=5000×

x

x2-130x+3600

，x∈[140，180]
因為y′=5000×

3600-x2

(x2-130x+3600)2

＜0，所以y在[140，180]上單調遞減，
故當x=140cm時，y取得最大值為140cm
（2）由

GC

h

=

GC+100

x

，得GC=

100h

x-h

，
由

GD

h+50

=

GD+100

x

，得GD=

100(h+50)

x-h-50

，
所以由題意知GC＜A₁G=AG≤GD，即

100h

x-h

＜100≤

100(h+50)

x-h-50

對x∈[140，180]恒成立
從而

h＜ x 2 h≥ x 2 -50

對x∈[140，180]恒成立，∴40≤h＜70，
∴h的取值范圍為[40，70）．

點評：本題考查函數模型的構建，考查函數的最值，考查恒成立問題，解題的關鍵是構建函數模型．