Question

已知

a

，

b

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，其中

a

=（1，2），|

b

|=

5

2

且

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直．
（1）求

a

與

b

的夾角θ；
（2）求|

a

-

b

|．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直，（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=0，求出

a

與

b

的夾角θ的值；
（2）由(

a

-

b

)2求出|

a

-

b

|的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（1，2），|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直；
∴（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2
=2×（1²+2²）+3×

12+22

×

5

2

cosθ-2×(

5

2

)2
=10+

15

2

cosθ-

5

2

=0，
∴cosθ=-1，
∴θ=π，
即

a

與

b

的夾角θ為π；
（2）∵(

a

-

b

)2=

a

2-2

a

•

b

+

b

2
=(

5

)2-2×

5

×

5

2

cosπ+(

5

2

)2
=5+5+

5

4

=

45

4

，
∴|

a

-

b

|=

45 4

=

3

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，考查了求向量的夾角與模長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．