Question

直線ax+by=1與圓x²+y²=1相交于不同的A，B兩點(diǎn)（其中a，b是實(shí)數(shù)），且（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，）距離的取值范圍為（ ）
A．（1，+∞）
B．（）
C．（）
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，將直線與圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可表示出判別式△與，即可得出a、b滿足的條件，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．
解答：解：當(dāng)b≠0時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立，消去y得到（a²+b²）x²-2ax+1-b²=0，
∵直線ax+by=1與圓x²+y²=1相交于不同的A，B兩點(diǎn)，∴△=4a²-4（a²+b²）（1-b²）＞0，化為a²+b²＞1．（*）
由根與系數(shù)的關(guān)系得，．
∵＞0，∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
又ax₁+by₁=1，ax₂+by₂=1，
∴b²y₁y₂=（1-ax₁）（1-ax₂0，
∴（b²+a²）x₁x₂-a（x₁+x₂）+1＞0，
代入得，化為a²+b²＜2．（**）
聯(lián)立（*）（**）得，當(dāng)b=0時(shí)也成立．
畫(huà)出圖象：
當(dāng)P分別�。�0，1），（0，-）時(shí)，|QP|取得最小值與最大值，
∴|QP|滿足．
因此點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，）距離的取值范圍為．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與圓相交問(wèn)題的解題模式、判別式、數(shù)量積的計(jì)算及兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．