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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是2
2
，且過點（1，
2
2
）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于M，N兩點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，直線MF與NF關于x軸對稱．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（Ⅰ）根據橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是2
2
，且過點（1，
2
2
），求出a，b，即可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（k≠0）代入橢圓C，利用韋達定理，結合kMA+kNA=0，即可得出結論．
解答： （Ⅰ）解：由題意可得
2a=2
2
1
a2
+
1
2b2
=1
，解得a=
2
，b=1． 
故橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1． …5分
（Ⅱ）證明：橢圓的右焦點F（1，0），
由
y=kx+m
x2+2y2=2
  消y，并整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
設M（x1，y1），N（x2，y2）
則有△=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-2）=8（2k2-m2+1）＞0，
且x1+x2=-
4km
2k2+1
，x1x2=
2m2-2
2k2+1

因為直線MA與NA 關于 x軸對稱，所以這兩條直線的斜率互為相反數，
則有kMA+kNA=0，即
y1
x1-1
+
y2
x2-1
=0，
則有2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0，…11分
所以2k•
2m2-2
2k2+1
-（m-k）•
4km
2k2+1
-2m=0，
整理得m=-2k，…13分
此時k滿足-
2
2
＜k＜
2
2
 且k≠0，直線l的方程是y=k（x-2），
故直線l過定點，且該定點為（2，0）． …14分
點評：本題考查了橢圓的標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了設而不求的解題思想方法和數學轉化思想方法，考查了學生的計算能力，是高考試卷中的壓軸題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

復數z=1+
1
i
的模為（　　）
A、1
B、
2
C、2
D、
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2為橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2的公共點左右焦點，它們在第一象限內交于點M，△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，且|MF1|=2．若橢圓C1的離心率e=
3
8
，則雙曲線C2的離心率是（　�。�
A、
5
4
B、
3
2
C、
5
3
D、4

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科目：高中數學 來源： 題型：

設向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．
（1）若
a
⊥
b
，求| 
a
+
3
b
 |的值；
（2）設向量
c
=(0，
3
)，且
a
+
b
=
c
，求α，β的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C：x2=4y．
（1）若點P是直線y=2x-5上任意一點，過P作C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，M為EF的中點，求證：PM⊥x軸
（2）在（1）的條件下，直線EF是否恒過一定點？若是，求出定點；若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
2x-1，0≤x＜1
2f(x-1)，x≥1
，方程f（x）=
1
2
的解從小到大組成數列{an}．
（Ⅰ）求a1、a2；
（Ⅱ）求數列{an}的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2cos2x-sin2x
（1）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（2）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=
2
，且f（
A
2
）=1，求△ABC的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：x2+（y-2）2=1，直線l：y=-1，動圓P與圓M相外切，且與直線l相切．設動圓圓心P的軌跡為E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）定點A（4，2），B，C為E上的兩個動點，若直線AB與直線AC垂直，求證：直線BC恒過定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
i
，
j
分別是平面內互相垂直的兩個單位向量，設向量a
i
+b
j
與
i
，
j
的夾角分別為α，β，則cos2α+cos2β的值等于
 
．

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