Question

已知F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，曲線C是以坐標原點為頂點，以F₂為焦點的拋物線，自點F₁引直線交曲線C于P、Q兩個不同的點，點P關于x軸對稱的點記為M，設．
（1）寫出曲線C的方程；
（2）若，試用λ表示u；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及拋物線的方程易得；
（2）由題意及所知的兩向量等式應先設出點P，Q，M的坐標，利用已知的向量等式建立λ與μ的關系，進而求解；
（3）由于設出點P，Q的坐標利用兩點間的距離公式，算出PQ的長度，應轉化為用λ表示所求，接下來因為知道λ的范圍進而可以求PQ長度的范圍．
解答：解：（1）拋物線的方程是y²=4x，
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₁，-y₁）
∵，
∴
∴y₁²=λ²y₂²，又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴x₁=λ²x₂代入①得λ²x₂+1=λx₂+λ
∴λx₂（λ-1）=λ-1，
∵λ≠1
∴
則=（x₁-1，-y₁）=（λ-1，-λy₂）=-λ（-1，y₂）
=-λ（x₂-1，y₂）=-λ
即，故u=-λ
（3）由③、④知x₁x₂=1，
∴y₁²y₂²=16x₁x₂=16，又y₁y₂＞0，
∴y₁y₂=4
∴|PQ|²
=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）
=λ²++4（λ+）-10
=（λ+）²+4（λ+）-12
=（λ++2）²-16
又2≤λ≤3，
∴≤λ+≤
∴≤|PQ|²≤
所以≤|PQ|≤
點評：（1）此問重點考查了拋物線的標準方程及拋物線焦點的概念；
（2）此問重點考查了由向量等式轉化為坐標等式，還考查了建立方程后整體代換的思想；
（3）此問重點考查了設出坐標后利用兩點間的距離公式表示兩點間的距離，轉化為用λ表示，還考查了不等式的性質．