Question

張經(jīng)理到老王的果園里一次性采購一種水果，他倆商定：張經(jīng)理的采購價y（元/噸）與采購量x （噸）之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中的折線段ABC所示（不包含端點A，但包含端點C）．
（Ⅰ）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）已知老王種植水果的成本是2800元/噸，那么張經(jīng)理的采購量為多少時，老王在這次買賣中所獲的利潤w最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的函數(shù)的圖象，可以判斷該函數(shù)關(guān)系為分段函數(shù)，分兩段分別求解函數(shù)的解析式，即可得到答案；
（Ⅱ）利用函（Ⅰ）中函數(shù)解析式表示出w，進而利用函數(shù)性質(zhì)分段求解最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)圖象可知，
當0＜x≤20時，y=8000，
當20＜x≤40時，設y=kx+b，
∵B（20，8000），C（40，4000）在圖象上，
則有

8000=20k+b 4000=40k+b

，解得

k=-200 b=12000

，
∴y=-200x+12000，
綜上可得，y=

8000，               0＜x≤20 -200x+12000，20＜x≤40

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，y=

8000，               0＜x≤20 -200x+12000，20＜x≤40

，
①當0＜x≤20時，w=（8000-2800）x=5 200x，
∵w=5200x在（0，20]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當x=20時，w取得最大值為104000；
②當20＜x≤40時，w=（-200x+12 000-2800）x=-200（x²-46x）=-200（x-23）²+105800，
對稱軸為x=23∈（20，40]，
∴當x=23時，w取得最大值為105800元．
綜合①②，由于105800＞104000，
∴當x=23時，w取得最大值為105800，
故當張經(jīng)理的采購量為23噸時，老王在這次買賣中所獲得的利潤最大，最大利潤為105800元．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型；（3）利用數(shù)學的方法，得到數(shù)學結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學模型．本題建立的數(shù)學模型為分段函數(shù)，對于分段函數(shù)一般選用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學思想進行解題．屬于中檔題．