Question

直角坐標平面上，滿足不等式組

y≤3x y≥ x 3 x+y≤100

的整點個數(shù)是

2551

．

Answer 1

分析：先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結合邊界的不等式確定x的范圍，在所求x的范圍下求解y的可能取值即可求解

解答：解：如圖，即△OAB內部及邊界上的整點．
由兩軸及x+y=100圍成區(qū)域（包括邊界）內的整點數(shù)=1+2+3+…+101=5151個．
由x軸、y=

1

3

x，x+y=100圍成區(qū)域（不包括y=

1

3

x上）內的整點數(shù)（x=1，2，3時各有1個整點，x=4，5，6時各有2個整點，…，x=73，74，75時有25個整點，x=76，77，…，100時依次有25，24，…，1個整點．
共有3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4（1+2+…+25）=1300．
由對稱性，由y軸、y=3x、x+y=100圍成的區(qū)域內也有1300個整點．
∴所求區(qū)域內共有5151-2600=2551個整點．
故答案為：2551

點評：本題主要考查了利用線性規(guī)劃求解不等式組所確定平面區(qū)域內的整點的個數(shù)，解題的關鍵是確定平面區(qū)域內的點的x，y的取值范圍