Question

（19）設(shè)點P到點M（－1，0）、N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2.求m的取值范圍.

Answer 1

（19）本小題主要考查直線、雙曲線等基礎(chǔ)知識，考查基本運算、邏輯推理能力.

解法一：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y），依題設(shè)得＝2, 即y＝±2x，x≠0.　　　                ①　

因此，點P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三點不共線，得||PM|－|PN||＜|MN|＝2，

∵||PM|－|PN||＝2|m|＞0，

∴0＜|m|＜1，

因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2|m|的雙曲線上，故

＝1.　　                                                           ②　

 

將①式代入②，并解得x²＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵1－m²＞0，

∴1－5m²＞0，

解得0＜|m|＜.

即m的取值范圍為（－,0）∪（0, ）.　　　　　　　

解法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y）,依題設(shè)得＝2，即

y＝±2x,x≠0.　　                                              　　　    ①　

由|PM|－|PN|＝2m，得                          ②　

由②式可得

 

所以，|m|＜＝,且|m|≠0.　

 

由②式移項，兩邊平方整理得m＝x－m².

 

將①式代入，整理得（1－5m²）x²＝m²（1－m²）.　　　　　　　 ③　

∵x²＞0，且③式右端大于0，

∴1－5m²＞0.

綜上，得m滿足0＜|m|＜.

即m的取值范圍為（－，0）∪（0，）.