Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)。當橋上的車流密度達200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時。研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)。
（1）當0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x· v（x）可以達到最大，并求出最大值。（精確到1輛/小時）

Answer 1

解：（1）由題意：當0≤x≤20時，v（x）=60；
當20≤x≤200時，設(shè)v（x）=ax+b，
再由已知得，解得
故函數(shù)v（x）的表達式為
。
（2）依題意并由（1）可得

當0≤x≤20時，f（x）為增函數(shù)，故當x=20時，其最大值為60× 20=1200
當20≤x≤200時，
當且僅當x=200-x，即x=100時，等號成立
所以，當x=100時，f（x）在區(qū)間[20，200]上取得最大值
綜上，當x=100時，f（x）在區(qū)間[0，200]上取得最大值3333
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時。