Question

16．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，a₁=1，且a₁，2a₂-1，a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設a_n•b_n=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{2}+n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁，2a₂-1，a₃成等差數(shù)列．可得2（2a₂-1）=a₁+a₃，4q-2=1+q²，q＞1，解得q即可得出．
（2）a_n•b_n=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{2}+n}$，可得b_n=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，2a₂-1，a₃成等差數(shù)列．∴2（2a₂-1）=a₁+a₃，
∴4q-2=1+q²，q＞1，解得q=3，又a₁=1，
∴a_n=3^n-1．
（2）a_n•b_n=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{2}+n}$，∴b_n=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n=3$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=3$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{3n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．