分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而確定a的范圍即可;
(2)求出函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值的等價(jià)條件,求出a的取值范圍,結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
解答 解:(1)由題:f′(x)=ex+a,且x∈R,
①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=ex,x∈(-∞,0)時(shí),f(x)∈(0,1),不滿足條件;
②當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=ex+a>0,∴f(x)在R上單調(diào)遞增,
令b<-1且b<lna,∴f(b)=eb+ab<elna+ab=a(1+b)<0,
∴f(x)≥1不恒成立,∴a>0不滿足條件;
③當(dāng)a<0時(shí),令f(x)=0,得x=ln(-a),
當(dāng)x∈(-∞,ln(-a))時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(ln(-a),+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
∴f(x)min=f(ln(-a))=aln(-a)-a,
由題aln(-a)-a≥1,即:aln(-a)-a-1≥0,
令φ(a)=aln(-a)-a-1,且a<0,則φ′(a)=ln(-a),φ′(-1)=0,
當(dāng)a∈(-∞,-1)時(shí),φ′(a)>0,φ(a)單調(diào)遞增;
當(dāng)a∈(-1,0)時(shí),φ′(a)<0,φ(a)單調(diào)遞減;
∴φ(a)max=φ(-1)=0,∴只有a=-1滿足條件;
綜上:實(shí)數(shù)a的取值范圍為{-1}
(2)證明:依題意,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=a[ex-a+(x-1)ex]=a(xex-a),
當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0,得xex=a,即ex=$\frac{a}{x}$,
作出函數(shù)y=ex和y=$\frac{a}{x}$的圖象,
則兩個(gè)函數(shù)的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn),
即函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn);不滿足條件,
則a<0,
∵f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,
∴x1,x2,是h(x)=f′(x)=a(xex-a)的兩個(gè)零點(diǎn),
令h′(x)=a(x+1)ex=0,得x=-1,
令h′(x)>0得x<-1,
令h′(x)<0得x>-1,
∴h(x)在(-∞,-1]上是增函數(shù),在[-1,+∞)上是減函數(shù),
∵h(yuǎn)(0)=f′(0)=-a2<0,∴必有x1<-1<x2<0.
令f′(t)=a(tet-a)=0,得a=tet,
此時(shí)f(t)=a(t-1)(et-a)=tet(t-1)(et-tet)=-e2tt(t-1)2=-e2t(t3-2t2+t),
∵x1,x2,是h(x)=f′(x)=a(xex-a)的兩個(gè)零點(diǎn),
∴f(x1)=-e 2x1(x13-2x12+x1),f(x2)=-e 2x2(x23-2x22+x2),
將代數(shù)式-e2t(t3-2t2+t)看作以t為變量的函數(shù)g(t)=-e2t(t3-2t2+t).
g′(t)=-e2t(t2-1)(2t-1),
當(dāng)t<-1時(shí),g′(t)=-e2t(t2-1)(2t-1)>0,
則g′(t)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,
∵x1<-1,∴f(x1)=g(x1)<g(-1)=$\frac{4}{{e}^{2}}$,
∵f(x1)=-e 2x1x1(x1-1)2>0,
∴0<f(x1)<$\frac{4}{{e}^{2}}$,
當(dāng)-1<t<0時(shí),g′(t)=-e2t(t2-1)(2t-1)<0,
則g′(t)在(-1,0)上單調(diào)遞減,
∵-1<x2<0,∴0=g(0)=g(x2)=f(x2)<g(-1)=$\frac{4}{{e}^{2}}$,
綜上,0<f(x1)<$\frac{4}{{e}^{2}}$且0<f(x2)<$\frac{4}{{e}^{2}}$,
即0<e2F(x1)<4且0<e2F(x2)<4.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大.
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A. | $\sqrt{41}$ | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 4 | D. | 8 |
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A. | p∧q | B. | p∧(?q) | C. | (?p)∧(?q) | D. | (?p)∨q |
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