Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≤0時，f（x）=2x+x²，若存在正數(shù)a，b，使得當x∈[a，b]時，f（x）的值域為[]，則a+b=

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據(jù)題意，先由奇函數(shù)的性質(zhì)，分析可得x＞0時，f（x）=2x-x²，對于正實數(shù)a、b，分三種情況討論：①、當a＜1＜b時，②、當a＜b＜1時，③、當1≤a＜b時，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得a、b的值，將其相加可得答案．
解答：設x＞0，有-x＜0，則f（-x）=-2x+x²，
又由y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
則x＞0時，f（x）=2x-x²，
對于a、b分三種情況討論：
①、當a＜1＜b時，f（x）=2x-x²的最大值為1；得=1，即a=1，不合題意，舍去，
②、當a＜b＜1時，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上單調(diào)增，而＞1，不合題意，舍去，
③、當1≤a＜b時，f（x）在[a，b]上單調(diào)減，可得，解可得a=1，b=，符合題意，
則a+b=；
故選D．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，注意先由奇函數(shù)的性質(zhì)，求出x＞0時，f（x）的解析式．