Question

設(shè)a＞0，b＞0，若a+b=1，則

2

a

+

8

b

的最小值是

18

．

Answer 1

分析：利用“1”的代換的思想，將

2

a

+

8

b

變形為（

2

a

+

8

b

）（a+b）展開化簡，利用基本不等式，即可求得

2

a

+

8

b

的最小值．

解答：解：∵a+b=1，
∴

2

a

+

8

b

=（

2

a

+

8

b

）（a+b）
=

2b

a

+

8a

b

+10
∵a＞0，b＞0，
∴

2b

a

+

8a

b

≥2

2b a • 8a b

=8，
當(dāng)且僅當(dāng)

2b

a

=

8a

b

即b=2a時取等號，
∴

2

a

+

8

b

≥8+10=18，
∴

2

a

+

8

b

的最小值為18．
故答案為：18．

點評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．在應(yīng)用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的判斷．本題運用了基本不等式中比較常用的一種方法，即“1”的代換的思想．屬于中檔題．