Question

橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，P為橢圓C上任意一點．已知的最大值為3，最小值為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點（M、N不是左右頂點），且以MN為直徑的圓過點A．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，再計算，利用的最大值為3，最小值為2，建立方程組，即可求得橢圓方程；
（2）將y=kx+m代入橢圓方程得一元二次方程，利用韋達定理，及MN為直徑的圓過點A，即可證得結論．
解答：（1）解：∵P是橢圓上任一點，∴|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，
∴=
==…（2分）
當|PF₁|=a時，y有最小值a²-2c²；當|PF₂|=a-c或a+c時，y有最大值a²-c²．
∴，，b²=a²-c²=3．
∴橢圓方程為．…（4分）
（2）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），將y=kx+m代入橢圓方程得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴…（6分）
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，，
∵MN為直徑的圓過點A，∴，
∵右頂點為A，∴A（2，0）
∴=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
∴7m²+16km+4k²=0，
∴或m=-2k都滿足△＞0，…（9分）
若m=-2k直線l恒過定點（2，0）不合題意舍去，
若直線l：恒過定點．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，聯(lián)立方程，正確運用韋達定理是關鍵．