Question

（理） 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c；則下列命題正確的是______．
①若ab＞c²；則C＜

π

3

       
②若a+b＞2c；則C＜

π

3

③若a³+b³=c³；則C＜

π

2

   
④若（a+b）c＜2ab；則C＞

π

2

．

Answer 1

①因?yàn)閍²+b²≥2ab，所以由余弦定理得cos?C=

a2+b2-c2

2ab

≥

2ab-c2

2ab

=1-

c2

2ab

，因?yàn)閍b＞c²，所以-c²＞-ab，
所以cos?C=

a2+b2-c2

2ab

≥

2ab-c2

2ab

=1-

c2

2ab

＞1+

-ab

2ab

=1-

1

2

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，所以①正確．
②a+b＞2c，所以(a+b)2＞4c2，c2＜

(a+b)2

4

，-c2＞-

(a+b)2

4

．所以cos?C=

a2+b2-c2

2ab

≥

a2+b2- (a+b)2 4

2ab

=

3(a2+b2)-2ab

8ab

＞

3×2ab-2ab

8ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，所以②正確．
③假設(shè)C≥

π

2

，則c²≥a²+b²，所以c³≥ca²+cb²＞a³+b³，與a³+b³=c³矛盾，所以假設(shè)不成立．即C＜

π

2

成立．所以③正確．
④取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得C為銳角，所以④錯(cuò)誤．
所以命題正確的是①②③．
故答案為：①②③．