Question

設(shè)f（x）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112347055499450/SYS201312021123470554994018_ST/0.png">，且，f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f（x）=3^x．
（1）求；
（2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的表達(dá)式；
（3）是否存在這樣的正整數(shù)k，使得當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式有解？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由，可得f（x）的周期為T=2，從而得到．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，可得 ，f（2k+1-x）=3^2k+1-x．再由已知條件求得f（x）的解析式．
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的正整數(shù)k，問題等價(jià)于 x²-（k+1）x+1＜0有解，故△=k²+2k-3=（k-1）（k+3）＞0，分k=1和k＞1兩種情況進(jìn)行研究，可得不存這樣的正整數(shù)k．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，∴f（x）的周期為T=2．…（2分）
故 ．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，有 ，∴，∴f（2k+1-x）=3^2k+1-x．
又∵，∴f（x）=3^x-2k-1（k∈Z）．…（10分）
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的正整數(shù)k，由（Ⅱ）得，等價(jià)于x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0有解，∵△=k²+2k-3=（k-1）（k+3）＞0．
①若k=1時(shí)，則△=0，x²-（k+1）x+1＜0無解．
②若k＞1且k∈Z時(shí)，x²-（k+1）x+1＜0的解為 ，∴x∈∅．
故不存這樣的正整數(shù)k．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性、求函數(shù)的值、對(duì)數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，屬于中檔題．