Question

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F(xiàn)為CD的中點．
（I）求證：EF⊥面BCD；
（II）求多面體ABCDE的體積；
（III）求面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取BC中點G，連FG，AG．根據(jù)AE⊥面ABC，BD∥AE，可得BD⊥面ABC，從而BD⊥AG．進而可證AG⊥平面BCD．又可證四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，故EF⊥面BCD．
（II）設AB中點為H，則根據(jù)AE⊥面ABC，可得平面ABDE⊥平面ABC．所以CH⊥平面ABDE，即CH為四棱錐C-ABDE的高．從而可求四棱錐C-ABDE的體積．
（III）過C作CK⊥DE于K，連接KH．由三垂線定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC為二面角C-DE-B的平面角．進而可求面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值．
解答：解：（I）取BC中點G，連FG，AG．
因為AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG?面ABC，所以BD⊥AG．
又AC=AB，G是BC的中點，所以AG⊥BC，所以AG⊥平面BCD．
又因為F是CD的中點且BD=2，所以FG∥BD且FG=BD=1，所以FG∥AE．
又AE=1，所以AE=FG，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD．
（II）設AB中點為H，則由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=．
又BD∥AE，所以BD與AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH為四棱錐C-ABDE的高．
故四棱錐C-ABDE的體積為V_C-ABDE=S_ABDE•CH=[（1+2）×2×]=．
（III）過C作CK⊥DE于K，連接KH．
由三垂線定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC為二面角C-DE-B的平面角．
易知EC=，DE=，CD=2．
由S_△DCE=×2×=×CK，可得CK=．
在Rt△CHK中，sin∠HKC==，所以cos∠HKC=，
所以面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值為．
點評：本題以多面體為載體，考查線面垂直，考查幾何體的體積，考查面面角，關鍵是正確作出面面角，是一道綜合題．