Question

已知O為A，B，C三點所在直線外一點，且

OA

=λ

OB

+μ

OC

．數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，b₁=1，且

an=λan-1+μbn-1+1 bn=μan-1+λbn-1+1

（n≥2）．
（Ⅰ）求λ+μ；
（Ⅱ）令c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}的通項公式；
（III）當λ-μ=

1

2

時，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）首先由A，B，C三點共線，可設

AB

=m

BC

，則

AB

=

OB

-

OA

=m

BC

=m(

OC

-

OB

)，經化簡得

OA

=(m+1)

OB

-m

OC

，即可知λ=m+1，μ=-m，進而得λ+μ=1
（II）首先根據已知及λ+μ=1可求出a_n+b_n=（λ+μ）（a_n-1+b_n-1）+2=a_n-1+b_n-1+2，（n≥2），則c_n=c_n-1+2（n≥2），即可求得數列{c_n}的通項公式為c_n=2n+1．
（III）首先由已知條件知要想求出a_n，得先求出an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=

1

2

(an-1-bn-1)，(n≥2)，再設令d_n=a_n-b_n，則dn=

1

2

dn-1(n≥2)，即可求出{d_n}是首項為a₁-b₁=1，公比為

1

2

的等比數列，則通項公式為dn=

1

2n-1

，由方程組

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

，進而可求出an=

1

2n

+n+

1

2

．

解答：解：（I）A，B，C三點共線，設

AB

=m

BC

，
則

AB

=

OB

-

OA

=m

BC

=m(

OC

-

OB

)，（2分）
化簡得：

OA

=(m+1)

OB

-m

OC

，所以λ=m+1，μ=-m，
所以λ+μ=1．（4分）
（II）由題設得
a_n+b_n=（λ+μ）（a_n-1+b_n-1）+2=a_n-1+b_n-1+2，（n≥2）（6分）
即c_n=c_n-1+2（n≥2），∴{c_n}是首項為a₁+b₁=3，
公差為2的等差數列，通項公式為c_n=2n+1（18分）
（III）由題設得
an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=

1

2

(an-1-bn-1)，(n≥2)，（10分）
令d_n=a_n-b_n，則dn=

1

2

dn-1(n≥2)．
所以{d_n}是首項為a₁-b₁=1，公比為

1

2

的等比數列，
通項公式為dn=

1

2n-1

．（12分）
由

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

．（14分）

點評：本題主要利用三點共線的性質、數列的推導方法及數列的疊加進行相關的運算．