Question

（2012•唐山二模）已知數(shù)列{a_n}滿足：

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=

3

8

(32n-1)，n∈N*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)bn=log3

an

n

，求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

1

a1

=

3

8

（3²-1）=3，再由n≥2時，

n

an

=（

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

）-（

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

） 求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由于 b_n=log₃

an

n

=-（2n-1），

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），用裂項法求出所求式子的值．

解答：解：（Ⅰ）

1

a1

=

3

8

（3²-1）=3，…（1分）
當(dāng)n≥2時，∵

n

an

=（

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

）-（

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

）=

3

8

（3²ⁿ-1）-

3

8

（3^2n-2-1）=3^2n-1，…（5分）
當(dāng)n=1，

n

an

=3^2n-1也成立，所以a_n=

n

32n-1

．…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=log₃

an

n

=-（2n-1），…（7分）
∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]…（10分）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．…（12分）

點評：本題主要考查根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式，用裂項法對數(shù)列進行求和，屬于中檔題．