Question

已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，
（1）證明：BD⊥平面BCF；
（2）設(shè)二面角E-BC-D的平面角為α，求sinα；
（3）M為AD的中點(diǎn)，在DE上是否存在一點(diǎn)P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明FC⊥DB，DB⊥BC，可得BD⊥平面BCF；
（2）確定∠EBD二面角E-BC-D的平面角α，可得sinα；
（3）設(shè)P（0，0，a），（0≤a≤4），P為DE上一點(diǎn)，求出平面BCE的一個(gè)法向量，再求出a=1．推出MP∥平面BCE．

解答： （1）證明：∵面ABCD⊥面CDEF，且矩形CDEF中FC⊥DC，
∴FC⊥面ABCD，F(xiàn)C⊥DB
在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC，
∵FC∩BC=C，
∴BD⊥平面BCF（3分）
（2）解：∵FC⊥面ABCD，ED∥FC，∴ED⊥面ABCD
又DB⊥BC，∴EB⊥BC，
∴∠EBD二面角E-BC-D的平面角α，
∴sinα=sin∠EBD=

DE

BE

=

4

4 3

=

3

3

（7分）
（3）以DA，DC，DE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
∵M(jìn)（2，0，0），設(shè)P（0，0，a），（0≤a≤4），P為DE上一點(diǎn)，
∴

MP

=（-2，0，a），
設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），
則

x-y=0 x+y-z=0

，取

n

=（1，1，2），
∵M(jìn)P∥平面BCE，
∴

MP

⊥

n

，∴（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0，
∴a=1．
∴當(dāng)DP=1時(shí)，MP∥平面BCE（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，計(jì)算能力．