Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲線f（x）上是否存在一點P，使得在點P處的切線平行于直線2x+y+3=0？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0解出其增區(qū)間，令導數(shù)小于0解出其減區(qū)間，并列出x變化時，f'（x）
和f（x）的變化表格，由表中數(shù)據判斷最值即可；
（II）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在點P，使點P處的切線與直線2x+y+3=0平行，再利用由導函數(shù)的幾何意義可知函數(shù)圖象在切點處的切線的斜率值即為其點的導函數(shù)值，求得切點的坐標，結合直線的方程求出斜率等于-2的直線，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-4x，由f′（x）=0得x₁=0，x₂=
當x在[-1，2]上變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下表

x	-1	（-1，0）		（0，）		（，2）	2
f′（x）		+		-		+
f（x）	-2	增函數(shù)	1	減函數(shù)	-	增函數(shù)	1

由表格可知，函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值為1，最小值為-2．
（II）由（I）知：f′（x）=3x²-4x，
∴，即曲線上的點P處的切線的斜率的取值范圍是
∵直線2x+y+3=0的斜率為-2，且-2∉
∴曲線上不存在點P，使得P處的切線平行于直線2x+y+3=0．
點評：本題著重考查了導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．本題還考查了存在性問題，所謂存在性問題，一般是要求確定滿足某些特定要求的元素有或沒有的問題．解題思路是：先假定所需探索的對象存在或結論成立，以此為依據進行計算或推理．