Question

（2009•濟(jì)寧一模）某甲有一個(gè)放有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黃球共6個(gè)球的箱子；某乙也有一個(gè)放有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黃球共6個(gè)球的箱子．
（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一個(gè)球，直到取到紅球?yàn)橹�，求甲取球次�?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若甲、乙兩人各從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時(shí)為甲勝，異色時(shí)為乙勝，這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知甲取球次數(shù)ξ的取值為1，2，3，4，分別求出其發(fā)生的概率，進(jìn)而求出次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）由題意可得，求出兩人各自從自己箱子里任取一球不同的取法，以及是同色球的取法，再根據(jù)等可能事件的概率可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意知甲取球次數(shù)ξ的取值為1，2，3，4
所以P(ξ=1)=

3

6

=

1

2

；P(ξ=2)=

3×3

6×5

=

3

10

；P(ξ=3)=

3×2×3

6×5×4

=

3

20

；
P(ξ=4)=

3×2×1×3

6×5×4×3

=

1

20

…（4分）
則甲取球次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為：
Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

20

…（6分）
（Ⅱ）由題意，兩人各自從自己箱子里任取一球比顏色共有C₆¹•C₆¹=36（種） 不同的情形…（8分）
每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則P(A)=

C 1 3 C 1 3 + C 1 2 C 1 2 + 1

36

=

7

18

＜

1

2

…（11分）
所以甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，這個(gè)游戲規(guī)則不公平．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握離散型隨機(jī)變量的期望與方差的有關(guān)公式，以及掌握等可能事件的概率．