Question

已知函數f（x）=sin（x+）+2sin²．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）記△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，若f（A）=，△ABC的面積S=，a=，求sinB+sinC的值．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+2sin²=sinx+cosx+1-cosx
=sinx-cosx+1=sin（x-）+1，…（4分）
∵正弦函數的單調遞增區(qū)間為[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），
∴2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z），
解得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），
則函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；…（6分）
（Ⅱ）由f（A）=，得到sin（A-）+1=，即sin（A-）=，
∵0＜A＜π，∴A=，…（7分）
∵面積S=bc•sinA=，
∴bc=2，…（8分）
∵a²=b²+c²-2bc•cos，
∴a²=（b+c）²-3bc，
又a=，bc=2，
∴b+c=3，…（10分）
∵===2，
∴sinB=，sinC=，
∴sinB+sinC=+==．…（12分）
分析：（Ⅰ）將函數解析式第一項利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由正弦函數的單調遞增區(qū)間，列出關于x的方程，求出方程的解得到函數f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）由第一問確定的函數解析式及f（A）的值，將x=A代入f（x）解析式，根據A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，確定出sinA的值，由已知的面積S及sinA的值，利用三角形面積公式求出bc的值，由余弦定理得到a²=b²+c²-2bc•cosA，利用完全平方公式變形后，將a，bc及cosA的值代入求出b+c的值，利用正弦定理由b表示出sinB，由c表示出sinC，代入所求式子中變形，再將b+c的值代入即可求出值．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：兩角和與差的正弦、余弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，正弦函數的單調性，正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．