Question

已知兩個等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，滿足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3．
（1）若a=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}唯一，求a的值．

Answer 1

分析：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)“b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3．且{b_n}為等比數(shù)列”由等比中項，可解得公比，從而求得通項．
（2）由（1）知（2+aq）²=（1+a）（3+aq²）整理得：aq²-4aq+3a-1=0，易知方程有一零根，從而求得結果．

解答：解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
又∵b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3．且{b_n}為等比數(shù)列
∴（2+q）²=2（3+q²）
∴q=2±

2

∴an=(2+

2

)n-1或an=(2-

2

)n-1
（2）由（1）知（2+aq）²=（1+a）（3+aq²）
整理得：aq²-4aq+3a-1=0
∵a＞0，∴△=4a²+4a＞0
∵數(shù)列{a_n}唯一，∴方程必有一根為0，得a=

1

3

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項，等比中項及方程思想，屬中檔題．