如圖，四棱錐中，,,分別為的中點.

(Ⅰ)求證：;

(Ⅱ)求證：.

 

【答案】

見解析

【解析】（I）取的中點，連接

因為為的中點，所以，

又,

所以

因此四邊形是平行四邊形.

所以

又平面，平面，

因此平面.

另解：連結(jié).

因為為的中點，所以

又所以

又，所以四邊形為平行四邊形，因此.

又平面，所以平面.

因為分別為的中點，所以

又平面，所以平面.

因為，所以平面平面.

（II）證明 因為分別為的中點，

所以，又因為，所以

同理可證.

又,平面，平面，

因此平面.

又分別為的中點，所以.

又，所以

因此平面，

又平面，所以平面平面.

【考點定位】本題考查空間直線與平面，平面與平面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力和空間想象能力.要證平面，可證明平面與所在的某個平面平行，不難發(fā)現(xiàn)平面平面.證明平面平面時，可選擇一個平面內(nèi)的一條直線（）與另一個平面垂直.線面關(guān)系與面面關(guān)系的判斷離不開判定定理和性質(zhì)定理，而形成結(jié)論的“證據(jù)鏈”依然是通過挖掘題目已知條件來實現(xiàn)的，如圖形固有的位置關(guān)系，中點形成的三角形的中位線等，都為論證提供了豐富的素材.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐中，底面ABCD是菱形，SA=SD=
39
，AD=2
3
，且S-AD-B大小為120°，∠DAB=60°．
（1）求異面直線SA與BD所成角的正切值；
（2）求證：二面角A-SD-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•聊城一模）如圖，四棱錐中S-ABCD中，底面ABCD是棱形，其對角線的交點為O，且SA=AC，SA⊥BD，
（Ⅰ）求證：SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)∠BAD=60°，AB=SO=2，P是側(cè)棱上的一點，且SD⊥平面APC，求直線SB與平面APC所成的角的正弦值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點M，使SM∥平面APC？若存在，求出BM的長，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆河北省邯鄲一中高三高考壓軸模擬考試文數(shù) 題型：解答題

（本小題12分）如圖，四棱錐中，
側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.
(1)求與底面所成角的大小；
(2)求證：平面；
(3)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆安徽省高三上學(xué)期第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，在底面等腰梯形中，，，，，為的中點，為的中點，.

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省高三12月月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，分別是，的中點．若，。

（1）求證：平面；

（2）求直線平面所成角的正弦值。

 

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