Question

用數(shù)學歸納法證明：

2

3

•

4

5

•

6

7

…

2n

2n+1

＜

1

n+1

．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：利用數(shù)學歸納法證明，①易證當n=1時，原不等式成立，②假設當n=k時，不等式成立，去推證當n=k+1時，原不等式也成立即可（注意利用好歸納假設）．

解答： 證明：①∵當n=1時，

4

9

-

1

2

=-

1

18

＜0，
∴

4

9

＜

1

2

，∴

2

3

＜

1

2

=

1

1+1

，即n=1時，不等式成立；
②假設當n=k時，不等式成立，即

2

3

•

4

5

•

6

7

•…•

2k

2k+1

＜

1

k+1

．
則當n=k+1時，

2

3

•

4

5

•

6

7

•…•

2k

2k+1

•

2(k+1)

2(k+1)+1

＜

1

k+1

•

2(k+1)

2(k+1)+1

=

2 k+1

2k+3

，
∵（

2 k+1

2k+3

）²-（

1

(k+1)+1

）²=

4(k+1)(k+2)-(2k+3)2

(2k+3)2(k+2)

=

-1

(2k+3)2(k+2)

＜0，
∴（

2 k+1

2k+3

）²＜（

1

(k+1)+1

）²，
∴

2 k+1

2k+3

＜

1

(k+1)+1

，即n=k+1時，原不等式也成立；
綜合①②知，對任意n∈N^*，

2

3

•

4

5

•

6

7

…

2n

2n+1

＜

1

n+1

．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查數(shù)學歸納法的應用，當n=k+1時，證明

2 k+1

2k+3

＜

1

(k+1)+1

是難點，考查分析、推理與證明的能力，屬于中檔題．