【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn).過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限.過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為.設(shè)直線的斜率為.

（1）若直線平分線段，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線平分線段，結(jié)合斜率的公式求出的值；

（2）求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，解方程組得兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線的方程，最后利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.

（1）由題設(shè)知，，，故，，所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由于直線平分線段，故直線過(guò)線段的中點(diǎn)，又直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，

所以.

（2）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，由解得，

從而點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

于是點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以直線的方程為.

所以點(diǎn)到直線的距離為.

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【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)面底面，，底面為直角梯形，其中，，，O為中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求凸多面體的體積.

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【題目】某工廠預(yù)購(gòu)軟件服務(wù)，有如下兩種方案：

方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠60元，對(duì)于提供的軟件服務(wù)每次10元；

方案二：軟件服務(wù)公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務(wù)不超過(guò)15次，不另外收費(fèi)，若超過(guò)15次，超過(guò)部分的軟件服務(wù)每次收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元.

（1）設(shè)日收費(fèi)為元，每天軟件服務(wù)的次數(shù)為，試寫(xiě)出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該工廠對(duì)過(guò)去100天的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個(gè)方案中選擇一個(gè)，哪個(gè)方案更合適？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖所示，圓錐的頂點(diǎn)為A，底面的圓心為O，BC是底面圓的一條直徑，點(diǎn)D，E在底面圓上，已知，.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為，求直線OC與平面ACE所成角的正弦值.

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【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，并滿足，過(guò)作傾斜角互補(bǔ)的兩直線、分別交橢圓于、兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（3）求證直線的斜率為定值.

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【題目】某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示，已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)7件的顧客占.

一次購(gòu)物量

1至3件

4至7件

8至11件

12至15件

16件及以上

顧客數(shù)（人）

27

20

10

結(jié)算時(shí)間（/人）

0.5

1

1.5

2

2.5

（1）確定，的值，并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；

（2）從收集的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)的顧客中，按分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的結(jié)算時(shí)間為的概率.（注：將頻率視為概率）

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【題目】如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.

（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角OEFC的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.

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【題目】某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)之后需立即執(zhí)行任務(wù)，任務(wù)、相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有______種.

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(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不與P點(diǎn)重合)，直線，與x軸分別交于點(diǎn).求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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