Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．
（1）當(dāng)b=1且函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)時，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，試用a表示b；
（3）在（2）的條件下，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）當(dāng)b=1時，函數(shù)f（x）=x²-ax+bln（x+1），
其定義域為（-1，+∞）．∴．
∵函數(shù)f（x）是增函數(shù)，∴當(dāng)x＞-1時，∴恒成立．
即當(dāng)x＞-1時，恒成立．
∵當(dāng)x＞-1時，，
且當(dāng)時取等號．∴a的取值范圍為．
（2）∵，且函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此時．
當(dāng)，即a=6時，f'（x）≥0恒成立，
此時x=1不是極值點．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）
（3）由得
①當(dāng)a＜2時，．∴當(dāng)-1＜x＜1時，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0．∴當(dāng)a＜2時，
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
②當(dāng)2＜a＜6時，．
∴當(dāng)-1＜x＜，或x＞1時，f'（x）＞0；
當(dāng)時，f'（x）＜0；
∴當(dāng)2＜a＜6時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為，（1，+∞）．
③當(dāng)a＞6時，．∴當(dāng)-1＜x＜1，或x＞時，f'（x）＞0；
當(dāng)時，f'（x）＜0；
∴當(dāng)a＞6時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為．
綜上所述：∴當(dāng)a＜2時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），
單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)2＜a＜6時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)a＞6時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為．
分析：（1）當(dāng)b=1且函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0恒成立，x∈（-1，+∞），采取分離參數(shù)的方法求得a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，得f′（1）=0，求出a，b的方程；（3）在（2）的條件下，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求導(dǎo)，比較方程f′（x）=0兩根的大小，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
點評：考查函數(shù)在某點取得極值的條件和函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，在求a的取值范圍時采取的分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，討論函數(shù)單調(diào)性是，對于程f′（x）=0兩根的大小的比較，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬難題．