Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＞0）的單調(diào)減區(qū)間是（1，2）．
（1）f（x）的解析式；
（2）若對任意的m∈（0，2]，關(guān)于x的不等式在x∈[2，+∞）時有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＞0），
∴f'（x）=3ax²+2bx+c．
∵f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，2），
∴

∴．
∴．
（2）由（1）得f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
當(dāng)x∈[2，+∞）時，f'（x）≥0，
∴f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（2）=3．
要使關(guān)于x的不等式在x∈[2，+∞）時有解，
即，
即對任意m∈（0，2]恒成立，
只需在m∈（0，2]恒成立．
設(shè)，m∈（0，2]，
則t＜h（m）_min．

，
當(dāng)m∈（0，2]時，h（m）在（0，1）上遞減，在（1，2]上遞增，
∴．
∴．

分析：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c．由f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，2），知，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由（1）得f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），當(dāng)x∈[2，+∞）時，f'（x）≥0，故f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）_min=f（2）=3．要使關(guān)于x的不等式在x∈[2，+∞）時有解，只需在m∈（0，2]恒成立．由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．易錯點(diǎn)是要使關(guān)于x的不等式在x∈[2，+∞）時有解，只需在m∈（0，2]恒成立．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．