Question

（2012•上海二模）已知橢圓￢：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OMF是等腰直角三角形．
（1）求橢圓￢的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）作直線AB交橢圓￢于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值；
（3）是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使點(diǎn)F為△PQM的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b=1，a=

2

，b=

2

，從而可得橢圓方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)C（0，2）的直線AB的方程為y=kx+2，A、B的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，求出|x_A-x_B|的最大值，即可求得△AOB面積=

1

2

×2×|x_A-x_B|=|x_A-x_B|的最大值；
（3）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心，設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合

MP

•

FQ

=0，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=

2

b=

2

，故橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)過點(diǎn)C（0，2）的直線AB的方程為y=kx+2，A、B的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，
將線AB的方程為y=kx+2代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²+8kx+6=0，△=16k²-24＞0，∴k²＞

3

2

∴x_A+x_B=-

8k

1+2k2

，x_Ax_B=

6

1+2k2

∴|x_A-x_B|=

(- 8k 1+2k2 )2-4× 6 1+2k2

=

16k2-24 (1+2k2)2

令k²=t，則t＞

3

2

，|x_A-x_B|=

16t-24 (1+2t)2

令u=t-

3

2

，則u＞0，|x_A-x_B|=4

u (2u+4)2

=2

1 u+ 4 u +4

≤

2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)u=2時取等號）
又△AOB面積=

1

2

×2×|x_A-x_B|=|x_A-x_B|，∴△AOB面積的最大值為

2

2

；
（3）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因為M（0，1），F(xiàn)（1，0），所以k_PQ=1．                  
于是設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

由題意應(yīng)有

MP

•

FQ

=0，所以x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0．
整理得2×

2m2-2

3

-

4m

3

（m-1）+m²-m=0．
解得m=-

4

3

或m=1．                              
經(jīng)檢驗，當(dāng)m=1時，△PQM不存在，故舍去．
∴當(dāng)m=-

4

3

時，所求直線l存在，且直線l的方程為y=x-

4

3

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．