Question

在四面體ABCD中，已知AB=CD=5，AC=BD=5，AD=BC=6．則四面體ABCD的體積為

 

；四面體ABCD外接球的面積為

 

．

Answer 1

分析：由已知中四面體ABCD中，已知AB=CD=5，AC=BD=5，AD=BC=6，我們易計算出底面BCD的面積，從A向BC作高，垂足E，解三角形AED可以求出sin∠AED，進(jìn)而計算出底面BCD上的高，代入棱錐體積公式，四面體ABCD的體積，再由對等四面體外接球半徑公式，求出四面體ABCD外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求出四面體ABCD外接球的面積．

解答：解：從A向BC作高，垂足E，由等腰三角形、勾股定理得AE=DE=4
由余弦定理cos∠AED=-

1

8

，
∴∠AED是鈍角
∴sin∠AED=

3 7

8

∴四面體ABCD的體積V=

1

3

•S△BCD•AD•sin∠AED=

1

3

•12•4•

3 7

8

=6

7

∵四面體ABCD的外接球半徑R=

2 • 52+52+62

4

=

43

2

∴四面體ABCD外接球的面積S=4πR²=43π
故答案為：6

7

，43π

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積和球的表面積，其中計算棱錐體積是，確定棱錐的高是關(guān)鍵，而求三棱錐的外接球表面積時，最難的問題是求外接球的半徑，這里引入對等外接球的半徑公式，非常重要．