Question

證明以下命題：
(Ⅰ)對(duì)任一正整數(shù)a，都存在正整數(shù)b，c(b＜c)，使得a²，b²，c²成等差數(shù)列；
(Ⅱ)存在無窮多個(gè)互不相似的三角形△_n，其邊長(zhǎng)a_n，b_n，c_n為正整數(shù)且a_n²，b_n²，c_n² 成等差數(shù)列。

Answer 1

證明：(Ⅰ)易知1²，5²，7²成等差數(shù)列，則a²，(5a)²，(7a)²也成等差數(shù)列，
所以對(duì)任一正整數(shù)a，都存在正整數(shù)b=5a，c=7a(b＜c)，使得a²，b²，c²成等差數(shù)列．
(Ⅱ)若a_n²，b_n²，c_n² 成等差數(shù)列，則有b_n²-a_n²=c_n²-b_n²，
即(b_n-a_n)(b_n+a_n)=(c_n-b_n)(c_n+b_n)， ①
選取關(guān)于n的一個(gè)多項(xiàng)式，例如4n(n²-1)，使得它可按兩種方式分解因式，
由于4n（n²-1）=(2n-2)(2n²+2n)=(2n+2)(2n²-2n)，
因此令，
可得，
易驗(yàn)證a_n，b_n，c_n滿足①，因此a_n²，b_n²，c_n² 成等差數(shù)列，
當(dāng)n≥4時(shí)，有a_n＜b_n＜c_n且a_n+b_n-c_n=n²-4n+1＞0，
因此以a_n，b_n，c_n為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成三角形，將此三角形記為△_n(n≥4)．
其次，任取正整數(shù)m，n（m，n≥4，且m≠n），假若三角形△_m與△_n相似，
則有，
據(jù)比例性質(zhì)有，
，
所以，由此可得m=n，與假設(shè)m≠n矛盾，
即任兩個(gè)三角形△_m與△_n(m，n≥4，m≠n)互不相似；
所以存在無窮多個(gè)互不相似的三角形△_n，其邊長(zhǎng)a_n，b_n，c_n為正整數(shù)且a_n²，b_n²，c_n² 成等差數(shù)列。