Question

（B題）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為2

3

，離心率為

3

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（-1，1），過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由長軸長為2

3

得2a=2

2

①，由離心率為

3

3

得

c

a

=

3

3

②，聯(lián)立①②解得a，c，由a²=b²+c²可求得b；
（2）分情況討論：當(dāng)BC垂直于x軸時(shí)，易求得此時(shí)△ABC面積；當(dāng)BC不垂直于x軸時(shí)，設(shè)該直線方程為y=kx，代入

x2

3

+

y2

2

=1，得x2=

6

2+3k2

，|BC|=2

1+k2

|x|=2

6

•

1+k2 3k2+2

，由點(diǎn)到直線的距離公式可表示出點(diǎn)A到直線BC的距離d，從而S△ABC=

1

2

|BC|•d，根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)換元后利用基本不等式即可求得△ABC面積的最大值，綜上可得答案．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由題意，得

2a=2 3 c a = 3 3

，解得

a= 3 c=1

，所以b²=2．
所求的橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）當(dāng)BC垂直于x軸時(shí)，因點(diǎn)A（-1，1），|BC|=2

2

，S△ABC=

2

，
當(dāng)BC不垂直于x軸時(shí)，設(shè)該直線方程為y=kx，代入

x2

3

+

y2

2

=1，得x2=

6

2+3k2

，
|BC|=2

1+k2

|x|=2

6

•

1+k2 3k2+2

，又點(diǎn)A到BC的距離d=

|1+k|

1+k2

，
所以S△ABC=

1

2

|BC|•d=

6

•

|k+1|

3k2+2

=

6

•

(k+1)2 3k2+2

=

2

•

1+ 6k+1 3k2+2

，
設(shè)6k+1=t，得S△ABC=

2

•

1+ 12t t2-2t+25

=

2

•

1+ 12 t+ 25 t -2

≤

5

，此時(shí)k=

2

3

，
綜上知當(dāng)k=

2

3

，時(shí)△ABC面積有最大值為

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，弦長公式、韋達(dá)定理是解決該類題目的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握．