Question

（2012•株洲模擬）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線：x-

3

y=4相切．
（1）求圓O的方程；
（2）若圓O上有兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+2y=0對稱，且|MN|=2

3

，求直線MN的方程；
（3）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑r，從而求得圓O的方程．
（2）用點(diǎn)斜式設(shè)出MN的方程為y=2x+b，由條件求出圓心O到直線MN的距離等于

r2-( MN 2 )2

=1，由1=

|0-0+b|

5

，
求出b的值，即可得到MN的方程．
（3）由題意可得|PA|•|PB|=|PO|² ，設(shè)點(diǎn)P（x，y），代入化簡可得x²=y²+2．由點(diǎn)P在圓內(nèi)可得 x²+y²＜4，可得0≤y²＜1．化簡

PA

•

PB

=2（y²-1），從而求得

PA

•

PB

的取值范圍．

解答：解：（1）半徑r=

|0-0-4|

1+3

=2，故圓O的方程為 x²+y²=4．
（2）∵圓O上有兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+2y=0對稱，故MN的斜率等于直線x+2y=0斜率的負(fù)倒數(shù)，等于2，
設(shè)MN的方程為y=2x+b，即2x-y+b=0．
由弦長公式可得，圓心O到直線MN的距離等于

r2-( MN 2 )2

=1．
由點(diǎn)到直線的距離公式可得 1=

|0-0+b|

5

，b=±

5

，故MN的方程為2x-y±

5

=0．
（3）圓O與x軸相交于A（-2，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，
∴|PA|•|PB|=|PO|² ，設(shè)點(diǎn)P（x，y），
 則有

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，化簡可得 x²=y²+2．
由點(diǎn)P在圓內(nèi)可得 x²+y²＜4，故有 0≤y²＜1．
∵

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=2（y²-1）∈[-2，0）．
即

PA

•

PB

的取值范圍是[-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．