Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間[-2，-1]上，f(x)≥

2

e2

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-1代入曲線方程，求出x=1的點的坐標(biāo)，把原函數(shù)求導(dǎo)后求出f^′（1），直接由點斜式寫出切線方程；
（Ⅱ）由在區(qū)間[-2，-1]上，f(x)≥

2

e2

恒成立，取x=-2時求出a的初步范圍，然后把函數(shù)f（x）求導(dǎo)，經(jīng)分析導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，得到函數(shù)f（x）在[-2，-1]上為增函數(shù)，由其在[-2，-1]上的最小值f（-2）大于等于

2

e2

解出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，f（x）=-e^xx²，f（1）=-e．
f^′（x）=-（x²+2x）e^x，則k=f^′（1）=-3e．
∴切線方程為：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e．
（Ⅱ）由f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，得：a≥

1

5

．
f^′（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]．
∵a≥

1

5

，∴f^′（x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，
要使f(x)≥

2

e2

恒成立，則f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，解得a≥

1

5

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，處理（Ⅱ）時運用了特值化思想，是該題的難點所在，此題屬中檔題．