求證:m為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒過某一定點(diǎn).

答案:
解析:

  分析:由所給的直線方程可知,當(dāng)m取不同的實(shí)數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的直線方程不同,因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線方程.直線過定點(diǎn),即與參數(shù)m的取值無關(guān),則參數(shù)m的同次冪的系數(shù)為0,從而可求出定點(diǎn).本題也可以分別令參數(shù)為兩個(gè)特殊值,得方程組,求出點(diǎn)的坐標(biāo),代入原方程,若滿足題意,則此點(diǎn)為定點(diǎn).

  證明:原方程可寫成(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,

  因?yàn)閙為任意實(shí)數(shù)時(shí),該式恒成立,

  所以

  所以,m為任意實(shí)數(shù)時(shí),所給直線恒過定點(diǎn)(9,-4).

  點(diǎn)評(píng):此證法的優(yōu)點(diǎn)在于利用恒成立思想,轉(zhuǎn)化角度,將原方程看成關(guān)于m的方程,通過解方程組求解.而利用特殊值的思想則是解決一般性的問題,在取值上盡量使方程簡潔、易于計(jì)算,注意不能忽略代入驗(yàn)證.

  綜上可知,兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組的解緊密相連.通過方程組的解的個(gè)數(shù)來判斷兩條直線的位置關(guān)系,充分體現(xiàn)了用方程研究直(曲)線、用代數(shù)方法解決幾何問題的思想.


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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

18、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f″(x)滿足0<f′(x)<1,常數(shù)a為方程f(x)=x的實(shí)數(shù)根.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸,對(duì)任意[a,b]⊆M,存在x0∈[a,b],使等式f(b)-f(a)=(b-a)f″(x0)成立,求證:方程f(x)=x存在唯一的實(shí)數(shù)根a;
(Ⅱ) 求證:當(dāng)x>a時(shí),總有f(x)<x成立;
(Ⅲ)對(duì)任意x1、x2,若滿足|x1-a|<2,|x2-a|<2,求證:|f(x1)-f(x2)|<4.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0
(1)求證:直線l2恒過定點(diǎn),并求定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:對(duì)m的任意實(shí)數(shù)值,l1和l2的交點(diǎn)M總在一個(gè)定圓上;
(3)若l1與定圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P1,l2與定圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P2,求當(dāng)實(shí)數(shù)m取值變化時(shí),△MP1P2面積取得最大值時(shí),直線l1的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)p,q都滿足f(p+q)=f(p)f(q),且f(1)=
1
3

(1)當(dāng)n∈N*時(shí),求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)an=nf(n)( n∈N*),Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求證:Sn
3
4

(3)設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
( n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
m-2000
2
對(duì)n∈N*恒成立,求最小正整數(shù)m.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求證:m為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5通過某一定點(diǎn).

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