求證:m為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒過某一定點(diǎn).
分析:由所給的直線方程可知,當(dāng)m取不同的實(shí)數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的直線方程不同,因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線方程.直線過定點(diǎn),即與參數(shù)m的取值無關(guān),則參數(shù)m的同次冪的系數(shù)為0,從而可求出定點(diǎn).本題也可以分別令參數(shù)為兩個(gè)特殊值,得方程組,求出點(diǎn)的坐標(biāo),代入原方程,若滿足題意,則此點(diǎn)為定點(diǎn). 證明:原方程可寫成(x+2y-1)m-(x+y-5)=0, 因?yàn)閙為任意實(shí)數(shù)時(shí),該式恒成立, 所以 所以,m為任意實(shí)數(shù)時(shí),所給直線恒過定點(diǎn)(9,-4). 點(diǎn)評(píng):此證法的優(yōu)點(diǎn)在于利用恒成立思想,轉(zhuǎn)化角度,將原方程看成關(guān)于m的方程,通過解方程組求解.而利用特殊值的思想則是解決一般性的問題,在取值上盡量使方程簡潔、易于計(jì)算,注意不能忽略代入驗(yàn)證. 綜上可知,兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組的解緊密相連.通過方程組的解的個(gè)數(shù)來判斷兩條直線的位置關(guān)系,充分體現(xiàn)了用方程研究直(曲)線、用代數(shù)方法解決幾何問題的思想. |
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