已知向量
a
=(sinθ，-2)與
b
=(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，
π
2
)．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin(θ-φ)=
10
10
，0＜φ＜
π
2
，求cosφ的值．
分析：（1）根據(jù)兩向量垂直，求得sinθ和cosθ的關系代入sin2θ+cos2θ=1中求得sinθ和cosθ的值．
（2）先利用φ和θ的范圍確定θ-φ的范圍，進而利用同角三角函數(shù)基本關系求得cos（θ-φ）的值，進而利用cosφ=cos[θ-（θ-?）]根據(jù)兩角和公式求得答案．
解答：解：（1）∵
a
與
b
互相垂直，則
a
•
b
=sinθ-2cosθ=0，
即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得sinθ=±
2
5
5
，cosθ=±
5
5
，又θ∈(0，
π
2
)，
∴sinθ=
2
5
5
，cosθ=
5
5

（2）∵0＜φ＜
π
2
，0＜θ＜
π
2
，
∴-
π
2
＜θ-φ＜
π
2
，則cos（θ-φ）=
1-sin2(θ-φ)
=
3
10
10
，
∴cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=
2
2
．
點評：本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系的應用，兩角和的余弦公式，向量的計算等．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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