Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x
（Ⅰ）求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間與最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）把x=

π

4

代入函數(shù)解析式求得答案．
（Ⅱ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間和最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x
∴f（

π

4

）=（

2

2

）²+2-

2

2

×

2

2

-（

2

2

）²=1．
（Ⅱ）∵f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∴當(dāng)-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，即-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z），
當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）有最大值為

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．