Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）．
（1）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要使得f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，即轉(zhuǎn)化為a≥

x

2x2+1

=

1

2x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，在利用基本不等式即可求解
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到m=f（m），n=f（n），在將之轉(zhuǎn)化為方程ax²+x+a=0有兩個不相等的正根，根據(jù)一元二次方程gender分布即可求解．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

a

-

1

x

，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，且a＞0，
∴轉(zhuǎn)化為a≥

x

2x2+1

=

1

2x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=

x

2x2+1

 =

1

2x+ 1 x

（當(dāng)且僅當(dāng)2x=

1

x

即x=

2

2

時取等號），
即g（x）≤

1

2 2

=

2

4

要使a≥

x

2x2+1

=

1

2x+ 1 x

（0，+∞）上恒成立，則a≥

2

4

，
故a的取值范圍是[

2

4

，+∞）．

（2）任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=

1

a

+

1

x1

-（

1

a

+

1

x2

）=

x1-x2

x1x2

＜0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∵f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n）
∴m=f（m），n=f（n），即am²-m+a=0，an²-n+a=0．
故方程ax²+x+a=0有兩個不相等的正根m，n，
注意到m•n=1，則只需要△=（1）²-4a²＞0，由于a＞0，則0＜a＜

1

2

．
故（1）的答案為[

2

4

，+∞)
（2）的答案為0＜a＜

1

2

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值的應(yīng)用，另外基本不等式和一元二次方程根的分布也是階梯的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．