Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

，x∈[0，π]．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求f（x）的最小值及f（x）取最小值時(shí)x的集合；
（3）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把x=

π

3

代入利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；
（2）利用兩角和的正弦余弦公式及倍角公式化簡(jiǎn)并利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）f(

π

3

)=cos(

π

3

+

2π

3

)+2cos2

π

6

=-1+2(

3

2

)2=

1

2

．
（2）f(x)=cosxcos

2π

3

-sinxsin

2π

3

+1+cosx=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1=sin(

π

6

-x)+1．
因?yàn)閤∈[0，π]，所以-

5π

6

≤

π

6

-x≤

π

6

，所以-1≤sin(

π

6

-x)≤

1

2

．
所以函數(shù)f（x）的最小值為0．
此時(shí)

π

6

-x=-

π

2

，即x=

2π

3

．所以x的取值集合為

2π

3

．
（3）由（2）可知：f(x)=-sin(x-

π

6

)+1，x∈[0，π]．
由

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，取k=0，得

2π

3

≤x≤

3π

2

，
∴[

2π

3

，

3π

2

]∩[0，π]=[

2π

3

，π]．
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[

2π

3

，π]．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握兩角和的正弦余弦公式、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．