Question

在棱長(zhǎng)都為a的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P是A₁B的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求PC與平面ABB₁A₁所成的角；
（Ⅱ）求C₁到平面PAC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲求PC與平面ABB₁A₁所成的角，需找到PC在平面ABB₁A₁上的射影，PC與它的射影所成角即PC與平面ABB₁A₁所成的角，
要求PC在平面ABB₁A₁內(nèi)的射影，只需過(guò)P向平面作垂線，找到垂足即可．根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，可以判斷垂足在AB的中點(diǎn)，再把角放入三角形中，即可求出．
（Ⅱ）因?yàn)锳1C1平行于平面PAC，所以C₁到平面PAC的距離與A₁到平面PAC的距離相等，只需求出A₁到平面PAC的距離，把A₁到平面PAC的距離看做三棱錐A₁-PAC的高，三棱錐A₁-PAC也可看做以三棱錐C-AA₁P，再利用等體積法，就可得到所求C₁到平面PAC的距離
解答：解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)為O，連PO．
∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，∴CO⊥AB B₁A₁．
∴∠CPO是PC與平面ABB₁A₁所成的角．
∵CO=，PO=，
∴tan∠CPO=，∠CPO=60°．
（Ⅱ）A₁C₁∥AC，∴A₁C₁∥平面PAC．
∴C₁到平面PAC的距離就是點(diǎn)A₁到平面PAC的距離，設(shè)為h．
取AB的中點(diǎn)D，則CD⊥平面ABB₁A₁，且．
又知，∴PC=a．
又，求得．
∵，
∴．∴
解得a．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成角的大小的求法，以及點(diǎn)到直線的距離的求法，考查了學(xué)生的觀察力，空間想象力，以及計(jì)算能力．