Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)在同一球面上，且任意兩個(gè)頂點(diǎn)的球面距離的最大值和最小值分別為2π和，則正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為_(kāi)_______．

Answer 1

8或12
分析：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長(zhǎng)為1，高AA₁=，它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑，中點(diǎn)O為球心．則易得球的半徑． 根據(jù)球面距離的定義，應(yīng)先算出球面兩點(diǎn)對(duì)球心的張角，再乘以球的半徑即可．
解答：解：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，
那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑，中點(diǎn)O為球心．
設(shè)球的半徑為R，
任意兩個(gè)頂點(diǎn)的球面距離的最大值即為正四棱柱對(duì)角線AC₁上兩個(gè)端點(diǎn)之間的球面距離，∴πR=2π，?R=2，則球的半徑為2．
正四棱柱對(duì)角線AC₁=4，
由于任意兩個(gè)頂點(diǎn)的球面距離的最小值分別為，
①當(dāng)A、B兩點(diǎn)的球面距離為時(shí)，
根據(jù)球面距離的定義，可得∠AOB=；
則AB=R=2，∴BB₁=，
則正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V=2×2×=8；
②當(dāng)B₁、B兩點(diǎn)的球面距離為時(shí)，
根據(jù)球面距離的定義，可得∠B₁OB=；
則B₁B=R=2，∴AB=，
則正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V=××2=12；
故答案為：8或12．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了球內(nèi)接多面體．
（1）涉及到多面體與球相關(guān)的“切”“接”問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是抓住球心的位置．球心是球的靈魂．
（2）根據(jù)球面距離的定義，應(yīng)先算出球面兩點(diǎn)對(duì)球心的張角，再乘以球的半徑．這是通性通法．