Question

已知函數(shù)f（x）=-x+log₂．
（1）求f（）+f（-）的值；
（2）當x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a為常數(shù)）時，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由＞0，得-1＜x＜1，可得函數(shù)的定義域為（-1，1）
∵f（-x）=-（-x）+log₂=x-log₂=-f（x）
∴f（x）是定義在（-1，1）的奇函數(shù)
因此，f（-）=-f（），可得f（）+f（-）的值等于0；
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=-x₁+log₂-（-x₂+log₂）=（x₂-x₁）+log₂
且x₂-x₁＞0，＞1
∴l(xiāng)og₂＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)，
∴當x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a為常數(shù)）時，函數(shù)有最小值為f（a）=-a+log₂
分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可證出f（x）是定義在（-1，1）的奇函數(shù)，由此可得f（）+f（-）的值等于0；
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差、因式分解、判斷符號的方法，證出f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)．因此，當a∈（0，1），且a為常數(shù)時，f（x）在區(qū)間（-a，a]的最小值為f（a）=-a+log₂．
點評：本題給出含有對數(shù)符號的基本初等函數(shù)，求特殊的函數(shù)值并討論函數(shù)在區(qū)間（-a，a]上的最小值，著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應用的知識點，屬于中檔題．