Question

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件||PM|-|PN||=2

2

，記動點P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）過N（2，0）作直線l交曲線W于A，B兩點，使得|AB|=2

2

，求直線l的方程．
（3）若從動點P向圓C：x²+（y-4）²=1作兩條切線，切點為A、B，令|PC|=d，試用d來表示

PA

•

PB

，并求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由||PM|-|PN||=2

2

，知點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，實軸長為2

2

的雙曲線．由此能求出W的方程．
（2）若k不存在，即x=2時，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

滿足題意；若k存在，可設(shè)l：y=k（x-2），聯(lián)立

y=k(x-2) x2-y2=2

，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．由題意知

1-k2≠0 △＞0

，k≠±1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=

△

|a|

1+k2

．由此能求出直線l的方程．
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=(d2-1)(1-2sin2APO′)=(d2-1)[1-2(

1

d

)2]=

(d2-1)(d2-2)

d2

，由d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10，知

PA

•

PB

=

(d2-1)(d2-2)

d2

=d2+

2

d2

-3，由此能求出

PA

•

PB

的范圍．

解答：解：（1）由||PM|-|PN||=2

2

，知點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，
實軸長為2

2

的雙曲線．（2分）
即設(shè)2a=2

2

，2c=4?a=

2

，c=2，b=

2

所以所求的W的方程為x²-y²=2（4分）
（2）若k不存在，即x=2時，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

滿足題意；（5分）
若k存在，可設(shè)l：y=k（x-2）
聯(lián)立

y=k(x-2) x2-y2=2

，?（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由題意知

1-k2≠0 △＞0

?k∈R且k≠±1（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=

△

|a|

1+k2

即

8k2+8

|1-k2|

1+k2

=2

2

?k=0即l：y=0（8分）
所以直線l的方程為x=2或y=0（9分）
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=(d2-1)(1-2sin2APO′)=(d2-1)[1-2(

1

d

)2]=

(d2-1)(d2-2)

d2

；
又d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
則

PA

•

PB

=

(d2-1)(d2-2)

d2

=d2+

2

d2

-3
∵d²≥10（13分）f(d)=d2+

2

d2

-3在[

10

，+∞)是增函數(shù)，
∴f(d)≥10+

2

10

-3=7

1

5

則所求的

PA

•

PB

的范圍為[7

1

5

，+∞)（16分）

點評：本題考查雙曲線方程和直線方程的求法，求

PA

•

PB

的取值范圍．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運用圓錐曲線的性質(zhì)和向量數(shù)量積計算公式，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．