Question

（2012•珠海二模）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+bx（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲線C：y=f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），曲線C在點(diǎn)P處的切線與直線x+2y-14=0垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試求函數(shù)g(x)=(m2-1)[f(x)-

7

3

x]（m為實(shí)常數(shù)，m≠±1）的極大值與極小值之差；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求證：0＜a+b＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2及曲線C：y=f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，確定函數(shù)的極值，從而可得g（x）_極大-g（x）_極小；
（Ⅲ）因?yàn)閒（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f′（x）=0，即x²+2ax+b=0在（1，2）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，由此建立不等式，從而可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=x²+2ax+b，
∵直線x+2y-14=0的斜率為-

1

2

，∴曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，∴f'（1）=1+2a+b=2…①
∵曲線C：y=f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），∴f(1)=

1

3

+a+b=2…②
由①②得：a=-

2

3

，b=

7

3

…（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：f(x)=

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x，∴g(x)=

m2-1

3

(x3-2x2)，∴g′(x)=(m2-1)x(x-

4

3

)，由g'（x）=0⇒x=0，或x=

4

3

．
當(dāng)m²-1＞0，即m＞1，或m＜-1時(shí)，x，g'（x），g（x）變化如下表

x	（-∞，0）	0	(0， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）		極大值		極小值

由表可知：g(x)極大-g(x)極小=g(0)-g(

4

3

)=0-[-

32

81

(m2-1)]=

32

81

(m2-1)…（5分）
當(dāng)m²-1＜0，即-1＜m＜1時(shí)，x，g'（x），g（x）變化如下表

x	（-∞，0）	0	(0， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，+∞)
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）		極小值		極大值

由表可知：g(x)極大-g(x)極小=g(

4

3

)-g(0)=-

32

81

(m2-1)-0=-

32

81

(m2-1)…（7分）
綜上可知：當(dāng)m＞1，或m＜-1時(shí)，g（x）_極大-g（x）_極小=

32

81

(m2-1)；
當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，g（x）_極大-g（x）_極小=-

32

81

(m2-1)…（8分）
（Ⅲ）證明：因?yàn)閒（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f′（x）=0，
即x²+2ax+b=0在（1，2）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根．
∴

1+2a+b＞0，(1) 4+4a+b＞0，(2) 1＜-a＜2，(3) △=4(a2-b)＞0，(4)

 …（10分）
由 （1）+（3）得：a+b＞0，…（11分）
由（4）得：a+b＜a²+a，由（3）得：-2＜a＜-1，
∴a²+a=（a+

1

2

）²-

1

4

＜2，∴a+b＜2．
故0＜a+b＜2…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查不等式的證明，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．